Robótica y control
El movimiento son derivadas: velocidad, aceleración, jacobianas de las articulaciones a la mano, la dinámica como EDO y el control realimentado que lo mantiene todo estable.
8 conceptos
Un robot es cálculo con motores. Dos cadenas resumen casi todo:
posición ──d/dt──► velocidad ──d/dt──► aceleración (cinemática)
ángulos articulares q ──► jacobiana J(q) ──► velocidad del efector ṗ = J(q) q̇
Encima van la dinámica (fuerzas y pares como ecuaciones diferenciales), la estimación de estado (fusionar sensores con ruido y un modelo: el filtro de Kalman) y el control (leyes de realimentación como el PID, diseñadas con transformadas de Laplace y análisis de estabilidad).
Conceptos
Cinemática: posición, velocidad, aceleración
Describir el movimiento sin sus causas: la velocidad es la derivada de la posición y la aceleración, la derivada de la velocidad. Robots, drones, cámaras y personajes de videojuego planifican y siguen trayectorias con estas derivadas.
Jacobiana del robot (cinemática de velocidades)
La cinemática directa da la posición de la mano a partir de los ángulos articulares; su jacobiana transforma velocidades articulares en velocidades de la mano, , y fuerzas en la mano en pares articulares, . Donde el brazo es singular.
Cinemática inversa
Encontrar los ángulos articulares que llevan la mano a un objetivo: resolver . Normalmente de forma iterativa con la jacobiana: pasos de Newton/Gauss–Newton , o mínimos cuadrados amortiguados cerca de las singularidades. Los motores de juego la usan para apoyar pies y orientar manos.
Dinámica de robots
Cómo producen movimiento los pares: las ecuaciones de Euler–Lagrange del lagrangiano dan , un sistema de EDO de segundo orden que se simula y que los controladores invierten.
Control PID
El controlador más usado del mundo: corregir en proporción al error (P), a su integral acumulada (I, elimina el error estacionario) y a su derivada (D, anticipa y amortigua). Cálculo en una línea, funcionando en termostatos, drones, controles de crucero y cabezales de disco duro.
Teoría de control
Diseñar la realimentación para que un sistema dinámico haga lo que queremos, de forma robusta. El control clásico trabaja con funciones de transferencia (Laplace); el moderno, con EDO en espacio de estados , control óptimo (LQR, MPC) y teoría de estabilidad (valores propios, Liapunov).
Filtro de Kalman
Estimación óptima del estado para sistemas lineales con ruido gaussiano: predecir con el modelo, corregir con la medida y ponderar cada uno según su incertidumbre. La versión extendida linealiza con jacobianas. Se usa en todo receptor GPS, teléfono, dron y nave espacial (Apolo).
Optimización de trayectorias y MPC
Elegir el movimiento completo que minimiza un coste (tiempo, energía, tirón) sujeto a la dinámica, los límites y los obstáculos: una optimización con restricciones sobre funciones, discretizada en un gran programa no lineal. El control predictivo la vuelve a resolver cada pocos milisegundos en un horizonte corto.
Las matemáticas sobre las que funciona este dominio
f′ Derivadas ★★★★★
- Derivada★★★★★→Cinemática: posición, velocidad, aceleración, Control PID
- Derivadas de orden superior★★★★★→Cinemática: posición, velocidad, aceleración, Optimización de trayectorias y MPC
- Regla de la cadena★★★★★→Jacobiana del robot (cinemática de velocidades)
- Diferencial y aproximación lineal★★★★★→Teoría de control