Curvatura (geometría diferencial básica)

Nivel AvanzadoDificultad ★★★★★Concepto⌖ Ver en el mapa

¿Qué es?

Lo deprisa que gira una curva ( $\kappa = 1/\text{radio}$ de la circunferencia que mejor se ajusta) o cómo se dobla una superficie (curvatura media y de Gauss). Los gráficos y el CAD la usan para juzgar la suavidad, suavizar mallas y diseñar carreteras y vías.

Fórmulas

\kappa = \frac{|y''|}{\big(1 + y'^2\big)^{3/2}}, \qquad \kappa = \frac{\norm{r' \times r''}}{\norm{r'}^3}

Aplicaciones en informática

Procesado de mallas (geometría diferencial discreta)★★★★★fundamentalGráficos por computador
La curvatura media discreta (del laplaciano cotangente) gobierna el suavizado, el remallado y la detección de rasgos.
Curvas de Bézier y splines★★★★★frecuenteGráficos por computador
Las uniones con curvatura continua ( $G^2$ ) y los peines de curvatura son como los diseñadores tipográficos y el CAD comprueban la calidad.
Optimización de trayectorias y MPC★★★★★frecuenteRobótica y control
Las trayectorias de vehículos deben respetar una curvatura máxima (radio de giro mínimo).

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

3D Gráficos por computador

Procesado de mallas (geometría diferencial discreta)★★★★★
Curvas de Bézier y splines★★★★★

⚙ Robótica y control

Optimización de trayectorias y MPC★★★★★

Esta página tiene lo esencial. Un desarrollo más completo (intuición, definición formal, ejemplo resuelto) está en camino.