Integrales múltiples y cambio de variables

¿Qué es?

Fórmulas

$$\iint_R f(x,y)\,\dd A = \int_a^b\!\!\int_{c}^{d} f(x,y)\,\dd y\,\dd x$$

$$\int_{F(U)} g(x)\,\dd x = \int_U g\big(F(u)\big)\,\big|\det J_F(u)\big|\,\dd u$$

Aplicaciones en informática

• Métodos de Monte Carlo★★★★★fundamentalComputación científica y algoritmos

  La cuadratura en rejilla en $d$ dimensiones necesita $n^d$ puntos; el error $O(N^{-1/2})$ de Monte Carlo no depende de $d$.

• La ecuación de renderizado★★★★★frecuenteGráficos por computador

  Las integrales de iluminación recorren el hemisferio de direcciones y las áreas de las fuentes de luz.

Dónde aparece en IA

• Modelos generativos★★★★★avanzadaIA y machine learning

  Las verosimilitudes de los modelos generativos continuos son integrales múltiples; los flows usan la fórmula del cambio de variables.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

Qué depende de él

• Integrales de superficie y flujo
• Teorema de Green