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Sumas de Riemann

Nivel FundamentalDificultad ★★★★★Concepto⌖ Ver en el mapa

¿Qué es?

Aproxima el área bajo una curva con nn rectángulos finos, ∑f(xi∗) Δx\sum f(x_i^\ast)\,\Delta x. Cuando n→∞n \to \infty la suma converge a la integral: despacio con la regla izquierda/derecha (O(1/n)O(1/n)), más deprisa con la del punto medio (O(1/n2)O(1/n^2)).

Fórmulas

Sn=∑i=1nf(xi∗) Δx,Δx=b−an,xi∗∈[xi−1,xi]S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^\ast)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b - a}{n}, \quad x_i^\ast \in [x_{i-1}, x_i]

Visualización interactiva

Aumenta n y mira cómo la suma converge al área. Las sumas por la izquierda y la derecha tienen error ∝ 1/n; punto medio y trapecio, ∝ 1/n².

Aplicaciones en informática

  • Métodos de Monte Carlo★★★★★frecuenteComputación científica y algoritmos

    La integración de Monte Carlo es una suma tipo Riemann con puntos de muestra aleatorios en vez de una rejilla.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

λ Computación científica y algoritmos

ℒ IA y machine learning

3D Gráficos por computador

⚙ Robótica y control

⚛ Física y simulación

∿ Señales, multimedia y visión

⇄ Optimización y sistemas

⊕ Criptografía y seguridad

ψ Computación y física cuántica

Qué depende de él

Ejercicios

1Interpretación gráfica

En la demo, compara las sumas por la izquierda y del punto medio para sin⁡x\sin x en [0,π][0,\pi] con n=10n = 10. ¿Por qué es tan mejor el punto medio?

Solución

En cada franja el rectángulo del punto medio se pasa y se queda corto en cantidades casi iguales en las dos mitades, así que los errores de primer orden se cancelan y solo sobrevive un término de curvatura O(Δx3)O(\Delta x^3) por franja: en total O(1/n2)O(1/n^2) en vez de O(1/n)O(1/n).

Esta página tiene lo esencial. Un desarrollo más completo (intuición, definición formal, ejemplo resuelto) está en camino.

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