Teoría de colas y rendimiento

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¿Qué es?

Modelos de peticiones que esperan a servidores. Con llegadas y servicios exponenciales (sin memoria), la cola M/M/1 da fórmulas cerradas: cuando la utilización $\rho \to 1$ , el tiempo de espera explota como $1/(1 - \rho)$ ; por eso los sistemas se operan muy por debajo de su capacidad.

Fórmulas

\rho = \frac{\lambda}{\mu}, \qquad W = \frac{1}{\mu - \lambda}, \qquad L = \lambda W

Las matemáticas que hay detrás

Distribuciones continuas★★★★★fundamental
Las llegadas de Poisson tienen tiempos entre llegadas exponenciales: la base de los modelos M/M/1 de servidores.
Esperanza★★★★★frecuente
La ley de Little $L = \lambda W$ relaciona la longitud media de la cola con el tiempo medio de espera.
Serie geométrica★★★★★frecuente
En una cola M/M/1 el número de clientes es geométrico: $P(N = n) = (1 - \rho)\rho^n$ .
Función de distribución acumulada★★★★★frecuente
Los percentiles de latencia (p99) son cuantiles de la distribución del tiempo de respuesta.

Ejercicios

1Informática

Un servicio atiende $\mu = 100$ pet/s. Compara el tiempo medio de respuesta con $\lambda = 50$ , $90$ y $99$ pet/s (M/M/1).

Solución

$W = 1/(\mu - \lambda)$ : 20 ms, 100 ms y 1 s. Pasar del 90 % al 99 % de utilización multiplica la latencia por 10.

Esta página tiene lo esencial. Un desarrollo más completo (intuición, definición formal, ejemplo resuelto) está en camino.