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Teorema de Weierstrass (valores extremos)

Nivel UniversitarioDificultad ★★★★★Teorema⌖ Ver en el mapa

¿Qué es?

Una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza un máximo y un mínimo. Sin él, «encontrar la mejor solución» podría no tener respuesta.

Enunciado

$f \in C[a,b] \implies \exists x_m, x_M \in [a,b]:\ f(x_m) \le f(x) \le f(x_M)\ \forall x \in [a,b]$ .

Idea de la demostración

Toma $x_n$ con $f(x_n) \to \sup f$ ; Bolzano–Weierstrass da una subsucesión convergente $x_{n_k} \to c$ y la continuidad da $f(c) = \sup f$ .

Aplicaciones en informática

Investigación operativa y logística★★★★★avanzadaOptimización y sistemas
Existencia de solución óptima: un coste continuo sobre un conjunto factible compacto siempre tiene mínimo.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

ℒ IA y machine learning

Teorema de Rolle→Teorema del valor medio→Continuidad de Lipschitz→Descenso de gradiente★★★★★
Teorema de Rolle→Teorema del valor medio→Continuidad de Lipschitz→Descenso de gradiente→Learning rate (tasa de aprendizaje)★★★★★
Teorema de Rolle→Teorema del valor medio→Continuidad de Lipschitz→Descenso de gradiente→Retropropagación (backpropagation)★★★★★
Teorema de Rolle→Teorema del valor medio→Continuidad de Lipschitz→Descenso de gradiente→Descenso de gradiente estocástico (SGD)★★★★★
Teorema de Rolle→Teorema del valor medio→Continuidad de Lipschitz→Descenso de gradiente→Paisaje de la pérdida (loss landscape)★★★★★
Teorema de Rolle→Teorema del valor medio→Continuidad de Lipschitz→Descenso de gradiente→Aprendizaje por refuerzo★★★★★
+3

⇄ Optimización y sistemas

Teorema de Rolle→Teorema del valor medio→Continuidad de Lipschitz→Descenso de gradiente→Sistemas de recomendación★★★★★
Teorema de Rolle→Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Función de distribución acumulada→Teoría de colas y rendimiento★★★★★
Investigación operativa y logística★★★★★

⚛ Física y simulación

Teorema de Rolle→Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Motores físicos★★★★★
Teorema de Rolle→Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Motores físicos→Simulación gravitatoria de N cuerpos★★★★★
Teorema de Rolle→Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Motores físicos→Dinámica de fluidos y CFD★★★★★

ψ Computación y física cuántica

Teorema de Rolle→Teorema del valor medio→Teorema de Taylor y resto→Serie de Taylor y de Maclaurin→Computación cuántica★★★★★

Qué depende de él

Teorema de Rolle