Regla de L'Hôpital

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¿Qué es?

En indeterminaciones $0/0$ o $\infty/\infty$ , $\lim \frac fg = \lim \frac{f'}{g'}$ cuando el límite de la derecha existe. Decide carreras entre ritmos de crecimiento, como $\log n$ frente a $n^\varepsilon$ .

Enunciado

Si $f(x), g(x) \to 0$ (o ambas $\to \pm\infty$ ) cuando $x \to a$ , $g' \ne 0$ cerca de $a$ y $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ , entonces $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = L$ .

Idea de la demostración

Extiende $f, g$ con $0$ en $a$ y aplica el TVM de Cauchy en $[a, x]$ : $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}$ con $c_x \to a$ .

Fórmulas

$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{\varepsilon}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{\varepsilon n^{\varepsilon - 1}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\varepsilon n^{\varepsilon}} = 0$
los logaritmos pierden contra cualquier potencia

Aplicaciones en informática

Análisis de algoritmos y complejidad★★★★★frecuenteComputación científica y algoritmos
Demuestra la jerarquía de crecimiento usada para comparar algoritmos: $\log n = o(n^\varepsilon)$ , $n^k = o(2^n)$ .

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

λ Computación científica y algoritmos

Análisis de algoritmos y complejidad★★★★★

Ejercicios

1Cálculo directo

Calcula $\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3}$ .

Solución

Aplicándola tres veces: $\frac{1 - \cos x}{3x^2} \to \frac{\sin x}{6x} \to \frac{\cos x}{6} \to \frac16$ .