Teoremas fundamentales
Rolle, el teorema del valor medio, Cauchy, L'Hôpital y el teorema fundamental del cálculo: los resultados que convierten información local (derivadas) en garantías globales: cotas de error, límites, áreas.
5 conceptos
Conceptos
Teorema de Rolle
Si una función suave toma el mismo valor en los dos extremos de un intervalo, en algún punto intermedio su derivada es cero: una pelota lanzada hacia arriba y recogida a la misma altura estuvo quieta un instante.
Teorema del valor medio
En algún punto de la tasa de cambio instantánea coincide con la media: . Es el puente de las derivadas a las desigualdades y, por tanto, a todas las cotas de error del análisis numérico.
Teorema del valor medio de Cauchy
El teorema del valor medio para dos funciones a la vez, es decir, para una curva paramétrica . Es el lema del que se deduce la regla de L'Hôpital.
Regla de L'Hôpital
En indeterminaciones o , cuando el límite de la derecha existe. Decide carreras entre ritmos de crecimiento, como frente a .
Teorema fundamental del cálculo
Derivar e integrar son operaciones inversas. Acumular una tasa de cambio devuelve el cambio total: , y la derivada de una cantidad acumulada es la tasa.