Física y simulación
Mecánica, gravedad, calor, ondas, fluidos y electromagnetismo escritos como ecuaciones diferenciales, y los métodos numéricos que los convierten en videojuegos, cine, predicciones y software de ingeniería.
10 conceptos
La física enuncia sus leyes como tasas de cambio: EDO para partículas y sólidos rígidos, EDP para campos. Un simulador elige una discretización en el espacio (malla, partículas, elementos) y un integrador en el tiempo (Euler, Verlet, Runge–Kutta, implícito), y luego pelea con la estabilidad, la precisión y el coste. Las mismas matemáticas mueven un motor de videojuegos a 60 fotogramas por segundo y un modelo climático en un superordenador.
Conceptos
Mecánica clásica
La segunda ley de Newton convierte las fuerzas en una EDO de segundo orden para el movimiento. La gravedad, los muelles, el rozamiento y los choques se modelan así; la energía y el momento son las magnitudes conservadas que permiten comprobar una simulación.
Motores físicos
Software que hace avanzar un mundo de cuerpos en pasos de tiempo pequeños: acumular fuerzas, integrar velocidades y posiciones (Euler semiimplícito o Verlet), detectar colisiones y resolver contactos. Un resolvedor numérico de EDO ajustado para la velocidad y la estabilidad más que para la precisión.
Simulación gravitatoria de N cuerpos
Integrar la gravedad mutua de cuerpos: planetas, estrellas, partículas de materia oscura. Los integradores simplécticos (leapfrog) mantienen estables las órbitas durante miles de millones de pasos; los códigos de árbol (Barnes–Hut) y el FMM reducen el coste de a u .
Ecuación del calor y difusión
: la temperatura (o la concentración, o la probabilidad) fluye de lo alto a lo bajo y se suaviza. Se resuelve con diferencias finitas o series de Fourier; el desenfoque gaussiano de una imagen es exactamente ejecutar esta ecuación.
Ecuación de ondas
: las perturbaciones viajan a velocidad . El sonido, las cuerdas vibrantes, las ondas sísmicas y la luz la obedecen; los videojuegos usan versiones discretizadas para ondas en el agua y acústica de salas.
Electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell)
Cuatro ecuaciones de divergencia y rotacional gobiernan toda la electricidad, el magnetismo y la luz. Se simulan (FDTD, elementos finitos) para diseñar antenas, chips, bobinas de resonancia magnética y enlaces inalámbricos.
Dinámica de fluidos y CFD
Las ecuaciones de Navier–Stokes para un campo de velocidades y una presión . La CFD de ingeniería las resuelve sobre mallas con volúmenes finitos; el cine y los videojuegos usan «stable fluids» (Stam, 1999): advectar, añadir fuerzas y proyectar a divergencia nula resolviendo una ecuación de Poisson.
Método de los elementos finitos
Resolver una EDP sobre una forma complicada dividiéndola en elementos pequeños, escribiendo la forma débil (integración por partes) y aproximando la solución con polinomios a trozos. La herramienta estándar de la ingeniería estructural, térmica y electromagnética.
Predicción meteorológica y clima
Integrar las ecuaciones de la atmósfera y los océanos sobre una malla global. El caos limita la predicción determinista a unas dos semanas, así que los servicios ejecutan conjuntos; la asimilación de datos ajusta el estado inicial a las observaciones con gradientes adjuntos (modo inverso). Los predictores aprendidos ya compiten con los modelos físicos.
Modelos de poblaciones y epidemias
Biología computacional con EDO: crecimiento logístico, ciclos depredador–presa y epidemias SIR cuyo número básico de reproducción decide si un brote crece. Estos modelos informaron decisiones durante la COVID-19.
Las matemáticas sobre las que funciona este dominio
f′ Derivadas ★★★★★
- Derivada★★★★★→Motores físicos
≈ Métodos numéricos ★★★★★
∫ Integrales ★★★★★
∇ Cálculo multivariable ★★★★★
∮ Cálculo vectorial ★★★★★
- Campos vectoriales★★★★★→Motores físicos, Electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell), Dinámica de fluidos y CFD
- Divergencia★★★★★→Electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell), Dinámica de fluidos y CFD
- Rotacional★★★★★→Electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell), Dinámica de fluidos y CFD
- Laplaciano★★★★★→Ecuación del calor y difusión, Ecuación de ondas, Dinámica de fluidos y CFD
- Teorema de la divergencia (Gauss)★★★★★→Electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell), Dinámica de fluidos y CFD
- Teorema de Stokes★★★★★→Electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell)
- Campos escalares★★★★★→Predicción meteorológica y clima
- Integrales de línea★★★★★→Mecánica clásica
- +1
ẏ Ecuaciones diferenciales ★★★★★
- Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)★★★★★→Mecánica clásica, Motores físicos, Modelos de poblaciones y epidemias
- EDO lineales de segundo orden (oscilaciones)★★★★★→Mecánica clásica, Motores físicos
- Sistemas de EDO★★★★★→Simulación gravitatoria de N cuerpos, Modelos de poblaciones y epidemias
- Método de Euler★★★★★→Motores físicos
- Ecuaciones en derivadas parciales (EDP)★★★★★→Ecuación del calor y difusión, Ecuación de ondas, Dinámica de fluidos y CFD, Método de los elementos finitos
- Ecuaciones de variables separables★★★★★→Modelos de poblaciones y epidemias
- Métodos de Runge–Kutta★★★★★→Simulación gravitatoria de N cuerpos, Predicción meteorológica y clima
- Rigidez y métodos implícitos★★★★★→Motores físicos
- +1
φ Sistemas dinámicos y caos ★★★★★
- Sistemas dinámicos★★★★★→Predicción meteorológica y clima
- Caos y sensibilidad a condiciones iniciales★★★★★→Simulación gravitatoria de N cuerpos, Predicción meteorológica y clima
- Atractores★★★★★→Predicción meteorológica y clima
- Espacio de fases★★★★★→Simulación gravitatoria de N cuerpos
- Bifurcaciones★★★★★→Modelos de poblaciones y epidemias