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Métodos numéricos

El cálculo como algoritmo: encontrar raíces, interpolar, derivar e integrar con aritmética finita, y saber cuánto puede equivocarse la respuesta.

10 conceptos

Las soluciones cerradas son la excepción. La mayoría de las ecuaciones de la ingeniería, la física y el aprendizaje automático se resuelven iterando un paso sencillo hasta que la respuesta deja de cambiar:

x₀ → f(x₀), f'(x₀) → x₁ → f(x₁), f'(x₁) → x₂ → … → solución

Tres preguntas deciden si eso funciona: ¿la iteración converge?, ¿a qué velocidad?, ¿y cuánto estropean el resultado los errores de redondeo y los problemas mal condicionados?

Conceptos

Error absoluto y relativo

Error absoluto $|x - \hat x|$ y relativo $|x - \hat x|/|x|$ . El error relativo cuenta cifras significativas correctas, y es lo que controla la coma flotante: cada operación es exacta salvo un error relativo de como mucho $\varepsilon_{\text{mach}} \approx 1{,}1 \cdot 10^{-16}$ en doble precisión.

Fundamental

Condicionamiento

Cuánto amplifica un problema los errores relativos de sus datos, independientemente del algoritmo. Su número de condición $\kappa$ dice que se pueden perder unas $\log_{10}\kappa$ cifras por muy bien que se calcule.

Universitario

Estabilidad numérica

Si un algoritmo mantiene a raya los errores de redondeo. Dos fórmulas matemáticamente iguales pueden comportarse de forma muy distinta: restar números casi iguales (cancelación catastrófica) o iterar una recurrencia inestable destruye la precisión.

Universitario

Orden y velocidad de convergencia

Lo deprisa que se reduce el error $e_k = |x_k - x^\ast|$ : lineal ( $e_{k+1} \approx c\,e_k$ , un número fijo de cifras por paso) o cuadrática ( $e_{k+1} \approx c\,e_k^2$ , las cifras se duplican en cada paso). La bisección es lineal; Newton, cuadrático.

Universitario

Método de bisección

Mantén un intervalo en el que $f$ cambie de signo y pártelo por la mitad en cada paso. Lento (un bit por paso) pero imposible de romper: el teorema de Bolzano garantiza una raíz dentro. Es la búsqueda binaria sobre una función continua.

FundamentalMétodo

Método de Newton

Para resolver $f(x) = 0$ , sustituye $f$ por su recta tangente en la aproximación actual y salta a donde la tangente corta el cero: $x_{k+1} = x_k - f(x_k)/f'(x_k)$ . Cerca de una raíz simple el número de cifras correctas se duplica en cada paso.

UniversitarioMétodo◐ demo

Iteración de punto fijo

Reescribe la ecuación como $x = g(x)$ e itera $x_{k+1} = g(x_k)$ . Si $g$ es contractiva ( $|g'| \le q < 1$ ), el teorema de Banach garantiza un único punto fijo y convergencia lineal de razón $q$ .

UniversitarioMétodo

Interpolación

Construir una función que pase por unos puntos dados. La interpolación lineal (lerp) está en todas partes en gráficos y animación; los polinomios de grado alto oscilan mucho (fenómeno de Runge), así que en la práctica se usan polinomios a trozos: splines.

Universitario

Diferenciación numérica

Estimar derivadas a partir de valores de la función: $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$ tiene error $O(h^2)$ . Un $h$ demasiado grande da error de truncamiento y uno demasiado pequeño error de redondeo; el mejor $h$ para diferencias centradas en doble precisión ronda $10^{-5}$ .

UniversitarioMétodo

Integración numérica (cuadratura)

Aproximar $\int_a^b f$ con una suma ponderada de muestras. El trapecio ( $O(h^2)$ ), Simpson ( $O(h^4)$ ) y la cuadratura de Gauss son excelentes en una o pocas dimensiones; en dimensión alta toma el relevo Monte Carlo.

UniversitarioMétodo

A dónde lleva esta área en informática

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Estabilidad numérica

Orden y velocidad de convergencia

Método de bisección

Método de Newton

Iteración de punto fijo

Interpolación

Diferenciación numérica

Integración numérica (cuadratura)

A dónde lleva esta área en informática

λ Computación científica y algoritmos ★★★★★

ℒ IA y machine learning ★★★★★

⚛ Física y simulación ★★★★★

∿ Señales, multimedia y visión ★★★★★

3D Gráficos por computador ★★★★★

⚙ Robótica y control ★★★★★