Curvas de Bézier y splines

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¿Qué es?

Curvas polinómicas controladas por unos pocos puntos, pegadas con condiciones de continuidad sobre las derivadas ( $C^1$ : misma tangente, $C^2$ : misma curvatura). Las tipografías, los trazados SVG, las superficies CAD y las curvas de animación se construyen con ellas.

Fórmulas

$B(t) = (1-t)^3P_0 + 3(1-t)^2t\,P_1 + 3(1-t)t^2P_2 + t^3P_3, \quad t \in [0,1]$; $B'(0) = 3(P_1 - P_0), \qquad B'(1) = 3(P_3 - P_2)$
tangentes en los extremos: así se construyen las uniones $C^1$

Las matemáticas que hay detrás

Funciones polinómicas★★★★★fundamental
Las curvas de Bézier y los splines son trozos polinómicos escritos en la base de Bernstein.
Continuidad★★★★★frecuente
Unir trozos de spline con continuidad $C^0$ , $C^1$ o $C^2$ decide lo suave que se ve la curva.
Derivadas de orden superior★★★★★frecuente
Igualar las segundas derivadas en las uniones ( $C^2$ ) elimina quiebros visibles en fuentes tipográficas y curvas CAD.
Interpolación★★★★★frecuente
El algoritmo de De Casteljau evalúa una curva de Bézier por interpolación lineal repetida.
Curvatura (geometría diferencial básica)★★★★★frecuente
Las uniones con curvatura continua ( $G^2$ ) y los peines de curvatura son como los diseñadores tipográficos y el CAD comprueban la calidad.

Esta página tiene lo esencial. Un desarrollo más completo (intuición, definición formal, ejemplo resuelto) está en camino.