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Diferenciación numérica

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¿Qué es?

Estimar derivadas a partir de valores de la función: f(x+h)−f(x−h)2h\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h} tiene error O(h2)O(h^2). Un hh demasiado grande da error de truncamiento y uno demasiado pequeño error de redondeo; el mejor hh para diferencias centradas en doble precisión ronda 10−510^{-5}.

Fórmulas

f′(x)=f(x+h)−f(x−h)2h+O(h2)f'(x) = \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h} + O(h^2)
f′′(x)≈f(x+h)−2f(x)+f(x−h)h2f''(x) \approx \frac{f(x + h) - 2f(x) + f(x - h)}{h^2}
el estencil detrás del laplaciano discreto

Aplicaciones en informática

  • Ecuación del calor y difusión★★★★★fundamentalFísica y simulación

    Los resolvedores por diferencias finitas sustituyen ∂2/∂x2\partial^2/\partial x^2 por el estencil [1,−2,1]/h2[1, -2, 1]/h^2 sobre una malla.

  • Procesamiento de imagen y visión artificial★★★★★frecuenteSeñales, multimedia y visión

    Los filtros de Sobel y Prewitt son diferencias finitas suavizadas de las intensidades de los píxeles.

  • Dinámica de fluidos y CFD★★★★★frecuenteFísica y simulación

    Los resolvedores de fluidos sobre malla discretizan las derivadas con diferencias finitas en mallas desplazadas.

Dónde aparece en IA

  • Diferenciación automática★★★★★frecuenteIA y machine learning

    La «comprobación de gradientes» compara los gradientes de la diferenciación automática con diferencias finitas para cazar errores.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

⚛ Física y simulación

∿ Señales, multimedia y visión

ℒ IA y machine learning

Esta página tiene lo esencial. Un desarrollo más completo (intuición, definición formal, ejemplo resuelto) está en camino.

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