Señales, multimedia y visión
Audio, imagen, vídeo y radio como funciones que se muestrean, transforman, filtran y comprimen: análisis de Fourier y derivadas a escala industrial.
7 conceptos
Conceptos
Procesamiento de señales
Analizar y transformar señales (sonido, radio, datos de sensores), sobre todo mediante sistemas lineales invariantes en el tiempo, la convolución y la transformada de Fourier. Las matemáticas que hay dentro de todo teléfono, auricular y módem.
Teorema de muestreo (Nyquist–Shannon)
Una señal sin frecuencias por encima de queda completamente determinada por muestras tomadas a más de por segundo, y se reconstruye exactamente con interpolación sinc. Si se muestrea más despacio, las frecuencias altas se disfrazan de bajas (aliasing). Por eso los CD usan 44,1 kHz para un oído que llega a 20 kHz.
Transformada rápida de Fourier (FFT)
Calcula la DFT de puntos en en vez de partiéndola recursivamente en muestras pares e impares (Cooley–Tukey, 1965, anticipado por Gauss). Uno de los algoritmos más importantes del siglo XX.
Filtros digitales
Ecuaciones en diferencias que conservan unas frecuencias y eliminan otras. Los filtros FIR son convoluciones; los IIR realimentan salidas anteriores y se analizan con la transformada Z (estables si y solo si los polos están dentro de la circunferencia unidad).
Compresión multimedia (JPEG, MP3, vídeo)
Transformar la señal a una base en la que la mayoría de coeficientes son diminutos (transformadas del coseno, wavelets), cuantizarlos con brusquedad donde el ojo o el oído no lo notarán y codificar el resto por entropía. El vídeo añade compensación de movimiento entre fotogramas.
Procesamiento de imagen y visión artificial
Una imagen es una función . Desenfocar es convolucionar, los bordes son gradientes grandes , las esquinas salen de segundas derivadas y el movimiento entre fotogramas, de la ecuación del flujo óptico. La visión clásica es cálculo aplicado; la moderna aprende los filtros (CNN).
Telecomunicaciones (modulación, OFDM)
Enviar bits por el aire modulando portadoras sinusoidales en amplitud y fase (números complejos). OFDM divide la banda en muchas subportadoras ortogonales usando una FFT inversa en el emisor y una FFT en el receptor: wifi, 4G/5G y ADSL.
Las matemáticas sobre las que funciona este dominio
ƒ Fundamentos ★★★★★
≈ Métodos numéricos ★★★★★
∇ Cálculo multivariable ★★★★★
ℱ Transformadas ★★★★★
- Series de Fourier★★★★★→Procesamiento de señales, Compresión multimedia (JPEG, MP3, vídeo)
- Transformada de Fourier★★★★★→Procesamiento de señales, Teorema de muestreo (Nyquist–Shannon), Transformada rápida de Fourier (FFT), Procesamiento de imagen y visión artificial, Telecomunicaciones (modulación, OFDM)
- Convolución★★★★★→Procesamiento de señales, Filtros digitales, Procesamiento de imagen y visión artificial
- Transformada Z★★★★★→Filtros digitales
- Wavelets (ondículas)★★★★★→Compresión multimedia (JPEG, MP3, vídeo), Procesamiento de imagen y visión artificial