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Derivadas

La tasa de cambio instantánea: pendiente, velocidad, sensibilidad. La idea del cálculo más usada en informática.

8 conceptos

Si te quedas con una sola idea del cálculo, que sea esta. Una derivada responde a «si muevo un poco la entrada, ¿cuánto se mueve la salida?», y esa pregunta está en toda la informática:

DERIVADA
   ├──► Optimización ──► Descenso de gradiente ──► Machine learning ──► Deep learning
   ├──► Física ──► Simulación (velocidad, aceleración, fuerzas)
   ├──► Gráficos ──► Normales ──► Iluminación
   ├──► Robótica ──► Movimiento (cinemática de velocidades, jacobianos)
   └──► Control ──► Sistemas dinámicos (la D del PID)

Ejemplos reales: cada paso de entrenamiento de una red neuronal calcula millones de derivadas parciales con la regla de la cadena; un motor de videojuegos integra la velocidad (derivada de la posición) sesenta veces por segundo; un renderizador calcula las normales de una superficie como derivadas de la superficie; un detector de bordes busca derivadas grandes de la intensidad de la imagen.

Conceptos

Derivada

f′(a)f'(a) es la tasa de cambio instantánea de ff en aa: la pendiente de la recta tangente a la gráfica, definida como el límite de las pendientes de las rectas secantes.

Fundamental◐ demo

Derivabilidad y derivadas laterales

Una función es derivable en aa cuando las dos derivadas laterales existen y coinciden. Derivable implica continua, pero no al revés: ∣x∣|x| y ReLU⁡\operatorname{ReLU} son continuas con un pico en 0.

Fundamental

Reglas de derivación

La derivada es lineal y hay reglas para productos y cocientes. Junto con la regla de la cadena permiten derivar cualquier fórmula de forma mecánica, y por eso los ordenadores saben hacerlo.

Fundamental

Derivadas de funciones elementales

La tabla de la que parte todo motor de derivación: potencias, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas e hiperbólicas, y las funciones de activación construidas con ellas.

Fundamental

Regla de la cadena

La derivada de una composición es el producto de las derivadas: (g∘f)′(x)=g′(f(x)) f′(x)(g\circ f)'(x) = g'(f(x))\,f'(x). Las tasas de cambio se multiplican a lo largo de una cadena, y la retropropagación es esta regla aplicada, de forma muy eficiente, a una red neuronal.

Fundamental

Derivación implícita

Derivar una relación F(x,y)=0F(x, y) = 0 sin despejar yy: se aplica la regla de la cadena a los dos lados y se despeja y′y'. La pendiente de una circunferencia, una elipse o una curva elíptica en un punto sale así.

Universitario

Derivadas de orden superior

f′′f'' es la tasa de cambio de la tasa de cambio: aceleración, curvatura, concavidad. Tercera derivada: el tirón (jerk). Los robots y las cámaras se ajustan para que estas sean suaves.

Fundamental

Diferencial y aproximación lineal

Cerca de aa, f(a+h)≈f(a)+f′(a) hf(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h. La diferencial df=f′(x) dx\dd f = f'(x)\,\dd x es esa mejor aproximación lineal; dice cómo se propaga a la salida un error en la entrada.

Universitario

A dónde lleva esta área en informática

λ Computación científica y algoritmos ★★★★★

ℒ IA y machine learning ★★★★★

⚙ Robótica y control ★★★★★

⚛ Física y simulación ★★★★★

3D Gráficos por computador ★★★★★

∿ Señales, multimedia y visión ★★★★★

⊕ Criptografía y seguridad ★★★★★

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