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Reglas de derivación

Nivel FundamentalDificultad ★★★★★Concepto⌖ Ver en el mapa

¿Qué es?

La derivada es lineal y hay reglas para productos y cocientes. Junto con la regla de la cadena permiten derivar cualquier fórmula de forma mecánica, y por eso los ordenadores saben hacerlo.

Fórmulas

$(af + bg)' = af' + bg'$
linealidad: $(fg)' = f'g + fg'$
regla del producto (Leibniz): $\left(\frac fg\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
regla del cociente

Aplicaciones en informática

Computación simbólica (CAS)★★★★★fundamentalComputación científica y algoritmos
Cada regla es una regla de reescritura sobre el árbol de expresiones; lo difícil es simplificar el resultado.

Dónde aparece en IA

Diferenciación automática★★★★★fundamentalIA y machine learning
La diferenciación automática aplica exactamente estas reglas, operación a operación, sobre números en vez de fórmulas.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

λ Computación científica y algoritmos

Computación simbólica (CAS)★★★★★
Derivadas de funciones elementales→Primitivas e integral indefinida→Teorema fundamental del cálculo→Función de distribución acumulada→Métodos de Monte Carlo★★★★★

ℒ IA y machine learning

Diferenciación automática★★★★★
Derivadas de funciones elementales→Funciones de activación★★★★★
Diferenciación automática→Retropropagación (backpropagation)★★★★★
Derivadas de funciones elementales→Funciones de activación→Redes neuronales★★★★★
Diferenciación automática→Retropropagación (backpropagation)→Deep learning (aprendizaje profundo)★★★★★
Derivadas de funciones elementales→Funciones de activación→Redes neuronales→Paisaje de la pérdida (loss landscape)★★★★★
+6

⚙ Robótica y control

Derivadas de funciones elementales→Primitivas e integral indefinida→Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)→Teoría de control★★★★★
Derivadas de funciones elementales→Primitivas e integral indefinida→Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)→Teoría de control→Optimización de trayectorias y MPC★★★★★
Derivadas de funciones elementales→Primitivas e integral indefinida→Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)→Transformada de Laplace→Control PID★★★★★

⚛ Física y simulación

Integración por partes→Método de los elementos finitos★★★★★
Derivadas de funciones elementales→Primitivas e integral indefinida→Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)→Mecánica clásica★★★★★
Derivadas de funciones elementales→Primitivas e integral indefinida→Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)→Motores físicos★★★★★
Derivadas de funciones elementales→Primitivas e integral indefinida→Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)→Modelos de poblaciones y epidemias★★★★★
Derivadas de funciones elementales→Primitivas e integral indefinida→Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)→Motores físicos→Simulación gravitatoria de N cuerpos★★★★★
Derivadas de funciones elementales→Primitivas e integral indefinida→Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)→Ecuaciones en derivadas parciales (EDP)→Ecuación del calor y difusión★★★★★
+2

∿ Señales, multimedia y visión

Derivadas de funciones elementales→Primitivas e integral indefinida→Fracciones simples→Filtros digitales★★★★★
Derivadas de funciones elementales→Primitivas e integral indefinida→Cambio de variable→Integrales trigonométricas→Procesamiento de señales★★★★★
Derivadas de funciones elementales→Primitivas e integral indefinida→Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)→Ecuaciones en derivadas parciales (EDP)→Procesamiento de imagen y visión artificial★★★★★

⇄ Optimización y sistemas

Derivadas de funciones elementales→Primitivas e integral indefinida→Teorema fundamental del cálculo→Función de distribución acumulada→Teoría de colas y rendimiento★★★★★

Qué depende de él

Ejercicios

1Cálculo directo

Deriva $f(x) = \frac{x^2 e^x}{1 + x}$ .

Solución

$f'(x) = \frac{(2x + x^2)e^x(1 + x) - x^2 e^x}{(1+x)^2} = \frac{x e^x (x^2 + 2x + 2)}{(1 + x)^2}$ .

Esta página tiene lo esencial. Un desarrollo más completo (intuición, definición formal, ejemplo resuelto) está en camino.