Teoría de control · Calculus × Computing

¿Qué es?

Diseñar la realimentación para que un sistema dinámico haga lo que queremos, de forma robusta. El control clásico trabaja con funciones de transferencia (Laplace); el moderno, con EDO en espacio de estados $\dot x = Ax + Bu$ , control óptimo (LQR, MPC) y teoría de estabilidad (valores propios, Liapunov).

Fórmulas

$\dot x = Ax + Bu,\ \ u = -Kx \implies \dot x = (A - BK)x$
realimentación de estado: elegir $K$ para colocar los valores propios de $A - BK$: $\min_u \int_0^\infty\big(x^{\mathsf T}Qx + u^{\mathsf T}Ru\big)\,\dd t$
regulador lineal cuadrático (LQR)

Las matemáticas que hay detrás

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)★★★★★fundamental
Las plantas y los controladores se describen con EDO; el control diseña su comportamiento en lazo cerrado.
Sistemas dinámicos★★★★★fundamental
El control es el arte de dar forma a la dinámica de un sistema mediante realimentación.
Puntos de equilibrio y estabilidad★★★★★fundamental
El análisis de estabilidad (valores propios, funciones de Liapunov) es el núcleo del diseño de control.
Transformada de Laplace★★★★★fundamental
El control clásico (Bode, Nyquist, lugar de las raíces) trabaja con funciones de transferencia en el dominio de Laplace.
Funciones racionales★★★★★frecuente
Los sistemas lineales invariantes en el tiempo tienen funciones de transferencia racionales $G(s)$ .
Números complejos★★★★★frecuente
Un sistema lineal es estable si los polos de su función de transferencia están en el semiplano complejo izquierdo.
Matrices y aplicaciones lineales★★★★★frecuente
Los modelos en espacio de estados $\dot x = Ax + Bu$ son aplicaciones lineales.
Diferencial y aproximación lineal★★★★★frecuente
Las plantas no lineales se linealizan alrededor de un punto de operación y se controlan con teoría lineal.
Fracciones simples★★★★★frecuente
La respuesta temporal de un sistema se obtiene descomponiendo $G(s)$ en fracciones simples e invirtiendo cada término.
Diferencial total y linealización★★★★★frecuente
Linealizar alrededor de un equilibrio da las matrices $A$ , $B$ de un modelo en espacio de estados.
EDO lineales de primer orden★★★★★frecuente
Los retardos de primer orden con constante de tiempo $\tau = 1/a$ son los ladrillos de los modelos de sistemas.
Transformada Z★★★★★frecuente
Los controladores digitales que corren en microcontroladores se diseñan en el dominio $z$ .
Bifurcaciones★★★★★avanzada
Las bifurcaciones de Hopf explican cómo al aumentar una ganancia un lazo estable empieza a oscilar.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

⚙ Robótica y control

Optimización de trayectorias y MPC★★★★★

Qué depende de él

Optimización de trayectorias y MPC