Matriz jacobiana

Para $F : \R^n \to \R^m$, la matriz $m \times n$ de todas las derivadas parciales $\partial F_i/\partial x_j$: la mejor aproximación lineal de $F$ cerca de un punto. Su determinante mide cómo estira $F$ los volúmenes.

Cuando la entrada y la salida son vectores, «la derivada» tiene que decir cómo responde cada salida a cada entrada: una tabla $m \times n$ de tasas. Dispuesta como matriz se compone multiplicando (regla de la cadena), se invierte cuando $F$ es localmente invertible y su determinante da el factor de cambio de variable en las integrales.

Haz zoom sobre una aplicación suave hasta que parezca lineal: la jacobiana es esa aplicación lineal. Un cuadradito en $x$ se transforma en un paralelogramo diminuto generado por las columnas de $J$; su área es $|\det J|$ veces la del cuadrado. En un brazo robótico, la columna $j$ dice a qué velocidad se mueve la mano cuando gira la articulación $j$.

Teorema de la función inversa: si $m = n$ y $\det J_F(a) \ne 0$, $F$ es invertible cerca de $a$ con $J_{F^{-1}} = J_F^{-1}$.

Coordenadas polares $F(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$: $J = \begin{pmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta\end{pmatrix}$, $\det J = r$. Esa $r$ es el factor conocido de $\dd x\,\dd y = r\,\dd r\,\dd\theta$.

La robótica vive de jacobianas (cinemática de velocidades, cinemática inversa, singularidades donde $\det J = 0$). El método de Newton para sistemas invierte una en cada paso. Los normalizing flows necesitan $\log|\det J|$ barato. Los frameworks de diferenciación automática nunca construyen jacobianas explícitamente: calculan productos jacobiana–vector (JVP) y vector–jacobiana (VJP).