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Métodos de Runge–Kutta

Nivel AvanzadoDificultad ★★★★★Método⌖ Ver en el mapa

¿Qué es?

Muestrear la pendiente en varios puntos dentro del paso y combinarlas para cancelar términos de error. El RK4 clásico tiene error O(h4)O(h^4): con la mitad de paso, el error se divide entre 16. Los pares adaptativos (Dormand–Prince, ode45, solve_ivp) ajustan hh automáticamente.

Intuición

Euler se fía de la pendiente al principio del paso. RK2 (punto medio) da medio paso, mira la pendiente ahí y usa esa pendiente para el paso completo. RK4 lo hace cuatro veces y promedia con pesos 1,2,2,11, 2, 2, 1, como la regla de Simpson para integrales. Los pesos se eligen para que el resultado coincida con el desarrollo de Taylor hasta h4h^4.

Fórmulas

k1=f(tk,yk),k2=f(tk+h2,yk+h2k1),k3=f(tk+h2,yk+h2k2),k4=f(tk+h,yk+hk3),\begin{aligned} k_1 &= f(t_k, y_k), & k_2 &= f\big(t_k + \tfrac h2, y_k + \tfrac h2 k_1\big),\\ k_3 &= f\big(t_k + \tfrac h2, y_k + \tfrac h2 k_2\big), & k_4 &= f(t_k + h, y_k + h k_3),\end{aligned}
yk+1=yk+h6(k1+2k2+2k3+k4)y_{k+1} = y_k + \frac h6\big(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\big)
RK4 clásico

¿Por qué importa?

Los métodos RK son la opción por defecto para problemas no rígidos en computación científica (ode45 de MATLAB, RK45 de SciPy), y se usan en propagación de órbitas, cinética química y los resolvedores adaptativos de las neural ODE. Los videojuegos prefieren esquemas más baratos y simplécticos; la ciencia prefiere precisión por evaluación de la función.

Aplicaciones en informática

  • Cálculo científico★★★★★fundamentalComputación científica y algoritmos

    Los pares de Runge–Kutta adaptativos son los resolvedores de EDO de propósito general estándar.

  • Simulación gravitatoria de N cuerpos★★★★★frecuenteFísica y simulación

    Se usa RK de orden alto para órbitas precisas a corto plazo y métodos simplécticos para la estabilidad a largo plazo.

  • Predicción meteorológica y clima★★★★★frecuenteFísica y simulación

    Los modelos atmosféricos avanzan en el tiempo sus ecuaciones discretizadas con esquemas de tipo Runge–Kutta.

Dónde aparece en IA

  • Neural ODE★★★★★frecuenteIA y machine learning

    Las librerías de neural ODE (torchdiffeq, Diffrax) usan por defecto resolvedores de Runge–Kutta adaptativos.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

λ Computación científica y algoritmos

ℒ IA y machine learning

⚛ Física y simulación

Ejercicios

1Informática

RK4 cuesta 4 evaluaciones de ff por paso y Euler 1. Para un error de 10−610^{-6} en [0,1][0,1], ¿cuántas evaluaciones necesita aproximadamente cada uno si las constantes de error son del orden de 1?

Solución

Euler: h≈10−6h \approx 10^{-6} → 10610^6 evaluaciones. RK4: h4≈10−6h^4 \approx 10^{-6} → h≈0,03h \approx 0{,}03, unos 32 pasos → ~130 evaluaciones. El orden alto gana por órdenes de magnitud.

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