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Infinitésimos y equivalencias

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¿Qué es?

Una magnitud que tiende a 0. Dos infinitésimos son equivalentes (f∼gf \sim g) si f/g→1f/g \to 1: cerca de 0, sin⁡x∼x\sin x \sim x, ex−1∼xe^x - 1 \sim x, ln⁡(1+x)∼x\ln(1 + x) \sim x. Sustituir uno por otro simplifica los límites y, en coma flotante, evita la cancelación catastrófica.

Fórmulas

f∼g (x→a)  ⟺  lim⁡x→af(x)g(x)=1f \sim g \ (x \to a) \iff \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = 1
sin⁡x∼x,1−cos⁡x∼x22,ex−1∼x,ln⁡(1+x)∼x\sin x \sim x, \quad 1 - \cos x \sim \tfrac{x^2}{2}, \quad e^x - 1 \sim x, \quad \ln(1+x) \sim x

Aplicaciones en informática

  • Coma flotante (IEEE 754)★★★★★frecuenteComputación científica y algoritmos

    expm1(x) y log1p(x) existen porque calcular ex−1e^x - 1 o ln⁡(1+x)\ln(1 + x) directamente pierde toda la precisión para xx diminuto.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

λ Computación científica y algoritmos

Qué depende de él

Esta página tiene lo esencial. Un desarrollo más completo (intuición, definición formal, ejemplo resuelto) está en camino.

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