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Sucesiones y límites

Qué significa acercarse a un valor, la idea sobre la que se construye todo lo demás en el cálculo, y su gemelo informático: el análisis asintótico.

11 conceptos

Conceptos

Sucesiones

Una lista infinita $a_1, a_2, a_3, \dots$ : una función $\N \to \R$ . Todo algoritmo iterativo produce una: las aproximaciones sucesivas del método de Newton, las pérdidas de un entrenamiento, el coste $T(n)$ de un algoritmo con entradas de tamaño $n$ .

Fundamental

Convergencia de sucesiones

$a_n \to L$ significa: por pequeña que sea la tolerancia $\varepsilon$ que elijas, a partir de cierto índice todos los términos están a menos de $\varepsilon$ de $L$ . Una sucesión que no converge diverge: hacia infinito, o oscilando para siempre.

Fundamental

Sucesiones monótonas y acotadas

Una sucesión monótona converge si y solo si está acotada. Es la forma más limpia de demostrar convergencia sin conocer el límite de antemano.

UniversitarioTeorema

Subsucesiones

Quedarse con infinitos términos de una sucesión, en orden. Bolzano–Weierstrass: toda sucesión acotada de números reales tiene una subsucesión convergente, el hecho clave detrás de la existencia de máximos y mínimos.

Universitario

Límite de una función

$\lim_{x\to a} f(x) = L$ : los valores $f(x)$ se pueden acercar a $L$ tanto como queramos tomando $x$ lo bastante cerca de $a$ (pero distinto). Las derivadas, las integrales y la continuidad se definen todas como límites.

Fundamental

Límites laterales

Acercarse a $a$ solo por la izquierda ( $x \to a^-$ ) o solo por la derecha ( $x \to a^+$ ). El límite existe exactamente cuando los dos laterales existen y coinciden.

Fundamental

Límites infinitos

$f(x) \to \pm\infty$ cuando $x \to a$ : la función crece sin límite cerca de un punto, como $1/x$ cerca de 0. La gráfica tiene ahí una asíntota vertical.

Fundamental

Límites en el infinito

A qué se acerca $f(x)$ cuando $x \to \pm\infty$ : el comportamiento a largo plazo de una función, y del coste de un algoritmo cuando crecen las entradas.

Fundamental

Infinitésimos y equivalencias

Una magnitud que tiende a 0. Dos infinitésimos son equivalentes ( $f \sim g$ ) si $f/g \to 1$ : cerca de 0, $\sin x \sim x$ , $e^x - 1 \sim x$ , $\ln(1 + x) \sim x$ . Sustituir uno por otro simplifica los límites y, en coma flotante, evita la cancelación catastrófica.

Universitario

Órdenes de magnitud

La jerarquía de lo deprisa que crecen las funciones: logaritmos ≪ potencias ≪ exponenciales ≪ factoriales. Es el idioma en el que se comparan los algoritmos.

Universitario

Notación asintótica (O, o, Ω, Θ)

Los símbolos de Landau comparan funciones salvo factores constantes: $f = O(g)$ (no crece más deprisa), $f = \Omega(g)$ (no más despacio), $f = \Theta(g)$ (al mismo ritmo), $f = o(g)$ (estrictamente más despacio). Nacieron en teoría de números, la informática los adoptó para clasificar algoritmos y el análisis numérico para medir errores.

Universitario

A dónde lleva esta área en informática

λ Computación científica y algoritmos ★★★★★

Análisis de algoritmos y complejidad★★★★★←Sucesiones, Límite de una función, Límites en el infinito, Órdenes de magnitud, Notación asintótica (O, o, Ω, Θ)
Cálculo científico★★★★★←Sucesiones, Convergencia de sucesiones, Notación asintótica (O, o, Ω, Θ)
Métodos de Monte Carlo★★★★★←Notación asintótica (O, o, Ω, Θ)
Coma flotante (IEEE 754)★★★★★←Límite de una función, Límites infinitos, Infinitésimos y equivalencias

ℒ IA y machine learning ★★★★★

Descenso de gradiente★★★★★←Convergencia de sucesiones, Sucesiones monótonas y acotadas
Funciones de activación★★★★★←Límites en el infinito