Teorema de Taylor y resto

Nivel UniversitarioDificultad ★★★★★Teorema⌖ Ver en el mapa

¿Qué es?

El tamaño exacto del error de aproximación: $f(x) - T_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ para algún $\xi$ entre $a$ y $x$ . Es como el análisis numérico certifica la precisión.

Enunciado

Si $f \in C^{n+1}$ en un intervalo que contiene $a$ y $x$ , entonces

f(x) = T_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}

para algún $\xi$ entre $a$ y $x$ (forma de Lagrange).

Idea de la demostración

Aplica el teorema de Rolle $n + 1$ veces a $g(t) = f(t) - T_n(t) - K(t - a)^{n+1}$ , con $K$ elegido para que $g(x) = 0$ .

Fórmulas

|R_n(x)| \le \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}, \qquad M_{n+1} = \max|f^{(n+1)}|

Aplicaciones en informática

Cálculo científico★★★★★fundamentalComputación científica y algoritmos
Los errores de truncamiento de las diferencias finitas y de los integradores de EDO son restos de Taylor.
Coma flotante (IEEE 754)★★★★★frecuenteComputación científica y algoritmos
Quien diseña una librería acota el resto para decidir cuántos términos hacen falta para la precisión doble completa.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

λ Computación científica y algoritmos

Cálculo científico★★★★★
Serie de Taylor y de Maclaurin→Computación simbólica (CAS)★★★★★
Coma flotante (IEEE 754)★★★★★

ψ Computación y física cuántica

Serie de Taylor y de Maclaurin→Computación cuántica★★★★★

Qué depende de él

Serie de Taylor y de Maclaurin

Ejercicios

1Cálculo directo

¿Cuántos términos de la serie de Maclaurin de $e^x$ garantizan $e$ (en $x = 1$ ) con error menor que $10^{-10}$ ?

Solución

$|R_n| \le \frac{e}{(n+1)!} < \frac{3}{(n+1)!}$ . $(n+1)! > 3 \cdot 10^{10}$ exige $n + 1 = 14$ ( $14! \approx 8{,}7 \cdot 10^{10}$ ), luego $n = 13$ .