Función de densidad de probabilidad

Una función $p(x) \ge 0$ con $\int p = 1$ cuya integral sobre un conjunto es la probabilidad de ese conjunto. Una densidad no es una probabilidad: puede superar 1; es probabilidad por unidad de longitud.

Con infinitos valores posibles, cada valor individual debe tener probabilidad cero, y sin embargo unas regiones son más probables que otras. La densidad describe esa verosimilitud relativa, y la integración recupera las probabilidades.

Piensa en un histograma de muchas muestras con barras cada vez más finas, normalizado para que el área total sea 1. En el límite las barras se convierten en una curva: la densidad. La probabilidad es el área bajo ella; $p(x)\,\dd x$ es la probabilidad de caer en un intervalo diminuto cerca de $x$.

$X$ tiene densidad $p$ si $P(X \in A) = \int_A p(x)\,\dd x$ para todo conjunto (medible) $A$, con $p \ge 0$ e $\int_{-\infty}^{\infty}p = 1$. Entonces $p = F'$, donde $F$ es la función de distribución acumulada.

Uniforme en $[0;\,0{,}5]$: $p(x) = 2$ ahí. La densidad vale 2 (> 1) pero todas las probabilidades están bien: $P(X \le 0{,}1) = \int_0^{0{,}1}2\,\dd x = 0{,}2$.

La IA generativa es modelado de densidades: los VAE, los normalizing flows y los modelos de difusión aprenden una densidad $p_\theta(x)$ de imágenes o sonidos (explícitamente o a través de su score $\nabla_x\log p$). La inferencia bayesiana actualiza densidades con datos, y la integral normalizadora del denominador suele ser lo difícil.